Наталья!
ГАИ точно не будет подавать в суд на возмещение ущерба, этим они не занимаются. Может быть суд по уголовному делу в отношении виновного, в нём можно заявить гражданский иск, но это в любом случае — Ваша забота, требование о возмещении ущерба (за рамками страхового возмещения) подаётся по правилам ст. 1064 Гражданского Кодекса РФ.
Если Вам необходима дополнительная консультация либо помощь в составлении письменных документов, можете обратиться в мой чат, по правилам сайта услуги в чате платные.
Всего доброго!