Добрый день, Марина.
Я рекомендую Вам хранить исполнительный лист дома. Судебные приставы меняются (у них большая текучка кадров). Бывают случаи утери исполнительных производств.
Что касается сроков предъявления исполнительного листа к исполнению:
Федеральный закон от 02.10.2007 N 229-ФЗ (ред. от 06.03.2019) «Об исполнительном производстве» Статья 21. Сроки предъявления исполнительных документов к исполнению
1. Исполнительные листы, выдаваемые на основании судебных актов, за исключением исполнительных листов, указанных в частях 2, 4 и 7настоящей статьи, могут быть предъявлены к исполнению в течение трех лет со дня вступления судебного акта в законную силу. Исполнительные листы, содержащие требования о возвращении на основании международного договора Российской Федерации незаконно перемещенного в Российскую Федерацию или удерживаемого в Российской Федерации ребенка, предъявляются к исполнению в течение одного года со дня вступления в законную силу судебного акта.
2. Исполнительные листы, выдаваемые на основании судебных актов арбитражных судов, по которым арбитражным судом восстановлен пропущенный срок для предъявления исполнительного листа к исполнению, могут быть предъявлены к исполнению в течение трех месяцев со дня вынесения судом определения о восстановлении пропущенного срока.
3. Судебные приказы могут быть предъявлены к исполнению в течение трех лет со дня их выдачи.
4. Исполнительные документы, содержащие требования о взыскании периодических платежей, могут быть предъявлены к исполнению в течение всего срока, на который присуждены платежи, а также в течение трех лет после окончания этого срока.
То есть исполнительный лист по алиментам Вы можете предъявить судебным приставам до достижения Вашим ребенком возраста 18 лет в любой момент, а так же и по истечении указанного срока еще в течение трех лет.