Юлия!
В соответствии с положениями ст. 421 Гражданского Кодекса РФ стороны свободны при заключении договора и определении его условий, вы можете заключить любой договор, если он не противоречит закону, это случай — не исключение, договор делать вам, паспортная служба лишь регистрирует граждан. Заверять у нотариуса его необязательно, Вам решать — надо ли это делать, но есть другая статья ГК РФ:
Статья 674. Форма договора найма жилого помещения
1. Договор найма жилого помещения заключается в письменной форме.
2. Ограничение (обременение) права собственности на жилое помещение, возникающее на основании договора найма такого жилого помещения, заключенного на срок не менее года, подлежит государственной регистрации в порядке, установленном законом о регистрации прав на недвижимое имущество и сделок с ним.
Поэтому как минимум нужна будет регистрация такого договора.
Если Вам необходима дополнительная консультация либо помощь в составлении письменных документов, можете обратиться в мой чат, по правилам сайта услуги в чате платные.
Всего доброго!