Светлана, добрый день!
Если в отношении ТС причинителя вреда заключен договор ОСАГО, то тот факт, что непосредственный виновник (водитель) не вписан в полис не влечет отказ в страховом возмещении.
В такой ситуации у страховщика возникнет право регресса к водителю-виновника.
Поэтому необходимо для начала обратиться в СК виновника (поскольку есть пострадавший).
Что касается документов, то поскольку ДТП было оформлено при участии сотрудников ГИБДД Вам необходимо будет представить страховщику «итоговый» документ по факту ДТП — постановление по делу об АП, определение об отказе в возбуждении об АП.
относительно сроков.
Если по делу проводится административное расследование, то в силу ст. 28.7 КоАП РФ
5. Срок проведения административного расследования не может превышать один месяц с момента возбуждения дела об административном правонарушении. В исключительных случаях указанный срок по письменному ходатайству должностного лица, в производстве которого находится дело, может быть продлен:
3) решением руководителя вышестоящего органа по делам о нарушении Правил дорожного движения или правил эксплуатации транспортного средства, повлекшем причинение легкого или средней тяжести вреда здоровью потерпевшего, — на срок до шести месяцев;
Это срок установлен законом и ускорить его никак нельзя.