Увольнение возможно в случае неоднократного (два и более раза) неисполнения работником без уважительных причин трудовых обязанностей, если он имеет дисциплинарное взыскание.
Таким образом, помимо объяснительных работодатель должен за каждый случай привлечь работника к дисциплинарной ответственности. И только, если в течение 1 года после привлечения работник повторно нарушит свои обязанности (в данном случае опоздает на работу без уважительной причины), то работодатель будет вправе его уволить.
Однако, следует иметь ввиду, что в случае увольнения, у работника есть шанс через суд восстановиться на работе, если докажет что его нарушения были незначительными (например, что опоздания, хоть и имели место, но составляли всего несколько минут и не влияли на выполнения объема работы). Основания для обжалования в суде необходимо обсуждать индивидуально, применительно к конкретному случаю.
Что касается фиксации нарушения, Вы правы, работодатель должен документально зафиксировать факт опоздания и ознакомить с такими документами работника.