Есть ли конкретные сроки по записи на ремонт?

Статья 12 Закона «Об ОСАГО»

21. В течение 20 календарных дней, за исключением нерабочих праздничных дней, а в случае, предусмотренном пунктом 15.3 настоящей статьи, 30 календарных дней, за исключением нерабочих праздничных дней, со дня принятия к рассмотрению заявления потерпевшего о страховом возмещении или прямом возмещении убытков и приложенных к нему документов, предусмотренных правилами обязательного страхования, страховщик обязан произвести страховую выплату потерпевшему или после осмотра и (или) независимой технической экспертизы поврежденного транспортного средства выдать потерпевшему направление на ремонт транспортного средства с указанием станции технического обслуживания, на которой будет отремонтировано его транспортное средство и которой страховщик оплатит восстановительный ремонт поврежденного транспортного средства, и срока ремонта либо направить потерпевшему мотивированный отказ в страховом возмещении.(в ред. Федерального закона от 28.03.2017 N 49-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

При несоблюдении срока осуществления страховой выплаты или срока выдачи потерпевшему направления на ремонт транспортного средства страховщик за каждый день просрочки уплачивает потерпевшему неустойку (пеню) в размере одного процента от определенного в соответствии с настоящим Федеральным законом размера страхового возмещения по виду причиненного вреда каждому потерпевшему. При возмещении вреда на основании пунктов 15.1 — 15.3 настоящей статьи в случае нарушения установленного абзацем вторым пункта 15.2 настоящей статьи срока проведения восстановительного ремонта поврежденного транспортного средства или срока, согласованного страховщиком и потерпевшим и превышающего установленный абзацем вторым пункта 15.2 настоящей статьи срок проведения восстановительного ремонта поврежденного транспортного средства, страховщик за каждый день просрочки уплачивает потерпевшему неустойку (пеню) в размере 0,5 процента от определенной в соответствии с настоящим Федеральным законом суммы страхового возмещения, но не более суммы такого возмещения.

Вы вправе заявить к возмещению все понесенные расходы связанные с ДТП, в том числе расходы на эвакуатор.

на это прямо указано в п. 4.12 

«Положения о правилах обязательного страхования гражданской ответственности владельцев транспортных средств»
(утв. Банком России 19.09.2014 N 431-П)

4.12. При причинении вреда имуществу потерпевшего возмещению в пределах страховой суммы подлежат:
иные расходы, произведенные потерпевшим в связи с причиненным вредом (в том числе эвакуация транспортного средства с места дорожно-транспортного происшествия, хранение поврежденного транспортного средства, доставка пострадавших в медицинскую организацию).

Если страховая отказывает вам в выплате расходов на эвакуатор, то можете обратиться к ней с претензией (с приложением всех подтверждающих расходы документов) и после этого обращаться в суд.