Здравствуйте, Андрей Геннадьевич!
Согласно ч. 1, 2 ст. 21 Закона РФ № 323-ФЗ «Об основах охраны здоровья граждан в РФ»
1. При оказании гражданину медицинской помощи в рамках программы государственных гарантий бесплатного оказания гражданам медицинской помощи он имеет право на выбор медицинской организации в порядке, утвержденном уполномоченным федеральным органом исполнительной власти, и на выбор врача с учетом согласия врача.
2. Для получения первичной медико-санитарной помощи гражданин выбирает медицинскую организацию, в том числе по территориально-участковому принципу, не чаще чем один раз в год (за исключением случаев изменения места жительства или места пребывания гражданина).
Соответственно, Вы вправе обратиться в медицинскую организацию, расположенную в Вашем городе, с заявлением о прикреплении. Медицинская организация не вправе Вам отказать.
Даже если бы у вас была карта, они все равно выписали бы свою. Ну, картой ее не назовешь, просто двойной листок с вашими данными и номером полиса. У меня то же такое было в другом городе. Но, принимать они обязаны. В крайнем случае можно позвонить работнику СК и просто пожаловаться.