Имеют ли право на бирже труда предлагать вакансии не по специальности?

Здравствуйте.
Политика государства в сфере занятости направлена в основном на способствование обучению неквалифицированных безработных, поэтому трудоустройство по специальности в вашем случае не обязательно для органов службы занятости, хотя предпочтительно.
Данный момент регламентирован ст.4 ФЗ «О занятости населения в Российской Федерации»:

Статья 4. Подходящая и неподходящая работа
 

1. Подходящей считается такая работа, в том числе работа временного характера, которая соответствует профессиональной пригодности работника с учетом уровня его квалификации, условиям последнего места работы (за исключением оплачиваемых общественных работ), состоянию здоровья, транспортной доступности рабочего места.

4. Подходящей не может считаться работа, если:
она связана с переменой места жительства без согласия гражданина;
условия труда не соответствуют правилам и нормам по охране труда;
предлагаемый заработок ниже среднего заработка гражданина, исчисленного за последние три месяца по последнему месту работы. Данное положение не распространяется на граждан, среднемесячный заработок которых превышал величину прожиточного минимума трудоспособного населения.

Следовательно, за неимением вакансий по вашей специальности служба занятости вправе вам предложить и иную работу.