Добрый день, Анжелика!
Вы можете снова обратиться в МФЦ по месту, где оформляли новый паспорт с требованием проставить прописку. МФЦ, в свою очередь, сделает запрос в паспортный стол г. Елабуга и внесет запись о прописке в ваш новый паспорт после получения ответа на запрос.
Что касается сроков,
согласно п. 16 Постановления Правительства РФ от 08.07.1997 N 828 «Об утверждении Положения о паспорте гражданина Российской Федерации, образца бланка и описания паспорта гражданина Российской Федерации», в случае обращения гражданина в территориальный орган Министерства внутренних дел Российской Федерации по вопросу выдачи или замены паспорта не по месту жительства, а также в связи с его утратой (похищением), если утраченный (похищенный) паспорт выдавался другим территориальным органом Министерства внутренних дел Российской Федерации, паспорт оформляется в 30-дневный срок со дня принятия документов территориальным органом Министерства внутренних дел Российской Федерации.
С уважением, Е.А. Залогина