Каким образом можно решить проблему с тем, что соседский петух будит своим криком?

Решение суда петух явно выполнть не будет. Подавайте иск в суд на компенсацию морального вреда в связи с ухудшением самочуствия. Они сами пустят его на суп

Стать 151 ГК РФ

Если гражданину причинен моральный вред (физические или нравственные страдания) действиями, нарушающими его личные неимущественные права либо посягающими на принадлежащие гражданину нематериальные блага, а также в других случаях, предусмотренных законом, суд может возложить на нарушителя обязанность денежной компенсации указанного вреда.

При определении размеров компенсации морального вреда суд принимает во внимание степень вины нарушителя и иные заслуживающие внимания обстоятельства. Суд должен также учитывать степень физических и нравственных страданий, связанных с индивидуальными особенностями гражданина, которому причинен вред.