Какие налоги оплачивать РФ гражданину России, постоянно проживающему в Казахстане?

Здравствуйте, Татьяна!

Должна ли я отчитываться об этих счетах в России о начисленных процентах? Начиная с какого периода?

Вы являетесь валютным резидентом РФ. Но если вы проживаете за пределами РФ более половины года, то никакие отчеты вам подавать не нужно:

Статья 12. Счета резидентов в банках, расположенных за пределами территории Российской Федерации
8. Требования к порядку открытия счетов (вкладов) в банках за пределами территории Российской Федерации, проведения по указанным счетам (вкладам) валютных операций, а также представления отчетов о движении средств по этим счетам (вкладам), установленные настоящей статьей, не применяются к уполномоченным банкам, которые открывают счета (вклады) в банках за пределами территории Российской Федерации, проводят по ним валютные операции и представляют отчеты в порядке, установленном Центральным банком Российской Федерации, и к физическим лицам — резидентам, срок пребывания которых за пределами территории Российской Федерации в течение календарного года в совокупности составит более 183 дней.
Федеральный закон от 10.12.2003 N 173-ФЗ (ред. от 03.04.2018) «О валютном регулировании и валютном контроле»

2. В 2017г. я оформила «рабочий» въезд в Казахстан. По трудовому договору я получаю зар.плату. Казахстан с зар.платы удерживает 10% подоходного налога. 

Должна ли я сдавать декларацию в России о доходах по зар.плате за 2017г. и доплачивать 3% Российской Федерации (т.к. в РФ с зар.платы удерживается подоходный 13%)? 

Опять же если вы находитесь за пределами России более 183 дней в году, то вы не являетесь налоговым резидентом. А значит, никакие доходы за пределами РФ вы деклариовать не должны и не должны уплачивать или доплачивать налог в РФ.

Статья 207. Налогоплательщики
2. Если иное не предусмотрено настоящей статьей, налоговыми резидентами признаются физические лица, фактически находящиеся в Российской Федерации не менее 183 календарных дней в течение 12 следующих подряд месяцев. Период нахождения физического лица в Российской Федерации не прерывается на периоды его выезда за пределы территории Российской Федерации для краткосрочного (менее шести месяцев) лечения или обучения, а также для исполнения трудовых или иных обязанностей, связанных с выполнением работ (оказанием услуг) на морских месторождениях углеводородного сырья.
Статья 209. Объект налогообложения
Объектом налогообложения признается доход, полученный налогоплательщиками:
2) от источников в Российской Федерации — для физических лиц, не являющихся налоговыми резидентами Российской Федерации.