Может ли УК требовать выплату долгов за 2010 год?

Здравствуйте, Анжелика.

На задолженность по оплате коммунальных услуг распространяется общий срок исковой давности, составляющий три года.

Поэтому лицо, которому передано право требовать уплаты задолженности, предъявлять эти требования, конечно, вправе, однако по заявлению ответчика в суде к спору будет применяться исковая давности: 

Истечение срока исковой давности, о применении которой заявлено стороной в споре, является основанием к вынесению судом решения об отказе в иске.

(ч. 2 ст. 199 ГК РФ).