Что делать, если фирма хочет подать на меня в суд из-за срыва сроков?

Анна, доброго времени суток! Для ответа на ваш вопрос необходимо изучить заявку, в которой вы расписались. Гражданский кодекс не всегда требует заключения письменного договора. 

Статья 432. Основные положения о заключении договора
1. Договор считается заключенным, если между сторонами, в требуемой в подлежащих случаях форме, достигнуто соглашение по всем существенным условиям договора.
Существенными являются условия о предмете договора, условия, которые названы в законе или иных правовых актах как существенные или необходимые для договоров данного вида, а также все те условия, относительно которых по заявлению одной из сторон должно быть достигнуто соглашение.
2.Договор заключается посредством направления оферты (предложения заключить договор) одной из сторон и ее акцепта (принятия предложения) другой стороной.
3. Сторона, принявшая от другой стороны полное или частичное исполнение по договору либо иным образом подтвердившая действие договора, не вправе требовать признания этого договора незаключенным, если заявление такого требования с учетом конкретных обстоятельств будет противоречить принципу добросовестности (пункт 3 статьи 1).

Существенными условиями для договора подряда являются

— условия, позволяющие определить конкретный вид работы (п. 1 ст. 702 ГК РФ);
— условие о начальном и конечном сроке выполнения работ (п. 1 ст. 708 ГК РФ).