Можно ли привлечь частного инвестора для строительства здания ГАУ?

Здравствуйте Дарья.
Я так понял Вы хотите построить здание за счет частных средств, а не за счет бюджета. Если строительство за счет бюджета регулируется положениями 44-ФЗ (я в нем не сильный специалист), то постройка за счет частного инвестора регулируется двумя федеральными законами:
1. Федеральный закон от 21.07.2005 N 115-ФЗ «О концессионных соглашениях»
2. Федеральный закон от 13.07.2015 N 224-ФЗ«О государственно-частном партнерстве, муниципально-частном партнерстве в Российской Федерации и внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации».
Если Вы хотите, чтобы построенное здание находилось в государственной собственности субъекта, то это первый закон. При этом частный инвестор получает право пользования данным объектом.
Если часть или все здание после постройки будет находится в частной собственности, то это второй закон.
Дарья, для более подробной, детальной проработки
интересующего Вас вопроса, получения расширенной консультации и (или)
составления необходимых юридических документов Вы можете обратиться ко мне в
чат (кнопка «Сообщение юристу»). Всего доброго!