Добрый день, Дарья! Спасибо за Ваш вопрос, один из моих любимых в практике, постараюсь помочь!
И так, у Вас сложились подрядные отношения (бытовой подряд) Вы заказали работы, подрядчик их выполнил, Вы оплатили, но нет письменного договора.
В некоторых случаях договор все-таки можно признать заключенным, даже при отсутствии письменного документа или при его наличии, но с пороками.
В законе вырисовывается такое понятие, как конклюдентные действия, которое применимо к Вам, в данном случае факт заключения договора возможно доказать именно действиями направленными на его исполнение.(если у Вас есть переписка из которой можно сделать вывод о том, что у Вас имелись правоотношения с подрядчиком, это и будет являться доказательством наличия правоотношений p.s.у Вас есть платежка).
Мои выводы основаны на судебной практике и на разъяснениях высших судов (п. 3 ст. 438 ГК РФ, п. 58 постановления Пленума Верховного суда РФ № 6, Пленума ВАС РФ № 8 от 1 июля 1996 г. «О некоторых вопросах, связанных с применением части первой Гражданского кодекса Российской Федерации», далее – Постановление № 6/8).
Я думаю, в Вашей ситуации возможно доказать факт заключения договора, соответственно заставить подрядчика устранить проблему. Детально можем обсудить в личном чате.