Как можно законно доказать, что мой дед - мне родственник?

Доказать Ваше родство может свидетельство о рождении матери, справка о смене фамилии матери и Ваше свидетельство о рождении. С этими документами Вы можете обратиться в суд с иском об установлении фактов родственных отношений:

Статья 264 ГПК РФ. Дела об установлении фактов, имеющих юридическое значение

1. Суд устанавливает факты, от которых зависит возникновение, изменение, прекращение личных или имущественных прав граждан, организаций.

2. Суд рассматривает дела об установлении:
1) родственных отношений;