Возможно ли завести уголовное дело, если молодой человек в кафе нанес мне травмы?

Здравствуйте. Не совсем понятно в чём вы ему отказали и в связи с чем побил. Полагаю покушения на изнасилование не было. ЧТо касается самого избиения, то, если побил из возникших неприязнанных отношений, будет административная ответственность. Если из хулиганских побуждений — уголовная.

«Кодекс Российской Федерации об административных правонарушениях» от 30.12.2001 N 195-ФЗ (ред. от 23.04.2018)Статья 6.1.1. Побои

(введена Федеральным законом от 03.07.2016 N 326-ФЗ)

 
Нанесение побоев или совершение иных насильственных действий, причинивших физическую боль, но не повлекших последствий, указанных в статье 115 Уголовного кодекса Российской Федерации, если эти действия не содержат уголовно наказуемого деяния, — влечет наложение административного штрафа в размере от пяти тысяч до тридцати тысяч рублей, либо административный арест на срок от десяти до пятнадцати суток, либо обязательные работы на срок от шестидесяти до ста двадцати часов.

Уголовный кодекс Российской Федерации" от 13.06.1996 N 63-ФЗ (ред. от 23.04.2018, с изм. от 25.04.2018)Статья 116. Побои

(в ред. Федерального закона от 07.02.2017 N 8-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

 
Побои или иные насильственные действия, причинившие физическую боль, но не повлекшие последствий, указанных в статье 115настоящего Кодекса, совершенные из хулиганских побуждений, а равно по мотивам политической, идеологической, расовой, национальной или религиозной ненависти или вражды либо по мотивам ненависти или вражды в отношении какой-либо социальной группы, — наказываются обязательными работами на срок до трехсот шестидесяти часов, либо исправительными работами на срок до одного года, либо ограничением свободы на срок до двух лет, либо принудительными работами на срок до двух лет, либо арестом на срок до шести месяцев, либо лишением свободы на срок до двух лет.