Как вернуть неисправный товар обратно в магазин?

Закон допускает ситуацию и при отсутствии чека. Пишите претензию и при отказе обращайтесь в суд
Статья 18. Зозпп Права потребителя при обнаружении в товаре недостатков

См. Энциклопедии и другие комментарии к статье 18 настоящего Закона

Федеральным законом от 25 октября 2007 г. N 234-ФЗ в пункт 1 внесены изменения, вступающие в силу по истечении сорока пяти дней после дня официального опубликования названного Федерального закона

См. текст пункта в предыдущей редакции

1. Потребитель в случае обнаружения в товаре недостатков, если они не были оговорены продавцом, по своему выбору вправе:

потребовать замены на товар этой же марки (этих же модели и (или) артикула);

потребовать замены на такой же товар другой марки (модели, артикула) с соответствующим перерасчетом покупной цены;

потребовать соразмерного уменьшения покупной цены;

потребовать незамедлительного безвозмездного устранения недостатков товара или возмещения расходов на их исправление потребителем или третьим лицом;

отказаться от исполнения договора купли-продажи и потребовать возврата уплаченной за товар суммы. По требованию продавца и за его счет потребитель должен возвратить товар с недостатками.

При этом потребитель вправе потребовать также полного возмещения убытков, причиненных ему вследствие продажи товара ненадлежащего качества. Убытки возмещаются в сроки, установленные настоящим Законом для удовлетворения соответствующих требований потребителя.