Несёт ли школа ответственность за неуспеваемость своих учеников?

Ответственность не несут. Ответственность прописана, но санкции за нарушение нет. Обязанность давать знания есть :

6. Образовательная организация обязана осуществлять свою деятельность в соответствии с законодательством об образовании, в том числе:

1) обеспечивать реализацию в полном объеме образовательных программ, соответствие качества подготовки обучающихся установленным требованиям, соответствие применяемых форм, средств, методов обучения и воспитания возрастным, психофизическим особенностям, склонностям, способностям, интересам и потребностям обучающихся;

2) создавать безопасные условия обучения, воспитания обучающихся, присмотра и ухода за обучающимися, их содержания в соответствии с установленными нормами, обеспечивающими жизнь и здоровье обучающихся, работников образовательной организации;

3) соблюдать права и свободы обучающихся, родителей (законных представителей) несовершеннолетних обучающихся, работников образовательной организации.

Статья 28. Компетенция, права, обязанности и ответственность образовательной организации
Федеральный закон от 29.12.2012 № 273-ФЗ
Об образовании в Российской Федерации

Но, честно, как бывший учитель, не могу не ответить китайской пословицей: Можно подвести коня к воде, но невозможно заставить его пить.

Добрый день, Наталья. 

Школа должна осуществлять образовательный процесс согласно требованиям образовательных программ. Если это требование выполняется, то насколько успевает ученик или нет — это уже не проблема образовательной организации.