Правомерно ли требуют от меня данный долг?

Здравствуйте, Елена. Все зависит от того, вступили ли Вы в право наследования и сможете ли Вы доказать, что не проживали в квартире с 2004 года. А в силу ст. 153 ЖК РФ, 

Обязанность по внесению платы за жилое помещение и коммунальные услуги возникает у:

1) нанимателя жилого помещения по договору социального найма с момента заключения такого договора;
1.1) нанимателя жилого помещения по договору найма жилого помещения жилищного фонда социального использования с момента заключения данного договора;
(п. 1.1 введен Федеральным законом от 21.07.2014 N 217-ФЗ)

2) арендатора жилого помещения государственного или муниципального жилищного фонда с момента заключения соответствующего договора аренды;
3) нанимателя жилого помещения по договору найма жилого помещения государственного или муниципального жилищного фонда с момента заключения такого договора;