Добрый день, Владимир Иванович!
После того, как вы подарите квартиру своему внуку, по закону все права на данную квартиру перейдут внуку. Таким образом, внук сможет делать с квартирой что посчитает нужным, то есть продать, подарить, обменять, выписывать и прописывать в квартиру иных лиц.
Если у вас теплые, доверительные отношения с внуком, то вы по согласию можете конечно продолжать жить в этой квартире, то по закону эта квартира будет принадлежать вашему внуку. Такие сделки лучше производить в виде составления завещания, тогда уж точно вас никто не выселит.