Имеют ли право не дать мне перевестись в другую военную часть?

Могут, так как для этого должны быть основания, предусмотренные:

Положением о порядке прохождения военной службы
УТВЕРЖДЕНО
Указом Президента
Российской Федерации
от 16 сентября 1999 года N 1237
(с изменениями на 27 декабря 2017 года)

Статья 15. Порядок перевода к новому месту военной службы

1. Военнослужащий может быть переведен к новому месту военной службы из одной воинской части в другую (в том числе находящуюся в другой местности) в пределах Вооруженных Сил Российской Федерации (других войск, воинских формирований или органов, воинских подразделений федеральной противопожарной службы) в следующих случаях: 
а) по служебной необходимости;

б) в порядке продвижения по службе;

в) по состоянию здоровья в соответствии с заключением военно-врачебной комиссии;

г) по семейным обстоятельствам по личной просьбе (для военнослужащих, проходящих военную службу по контракту);

д) по личной просьбе (для военнослужащих, проходящих военную службу по контракту);

е) в связи с организационно-штатными мероприятиями;

ж) в связи с плановой заменой (для военнослужащих, проходящих военную службу по контракту);

з) в связи с зачислением в военно-учебное заведение, адъюнктуру, военную докторантуру;

и) в связи с отчислением из военно-учебного заведения, адъюнктуры, военной докторантуры;

к) если с учетом характера совершенного преступления военнослужащий, которому назначено наказание в виде ограничения по военной службе, не может быть оставлен в должности, связанной с руководством подчиненными.

Таким образом перевод военнослужащего по контракту не является обязанностью командования.