Как заставить работодателя оформить меня на работу задним числом?

Да можете требовать признания трудовых отношений состоявшимися согласно

«Трудовой кодекс Российской Федерации» от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 27.11.2017)ТК РФ Статья 67. Форма трудового договора

Путеводитель по кадровым вопросам. Вопросы применения ст. 67 ТК РФ

 
Трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя.
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

КонсультантПлюс: примечание.
О порядке заключения трудового договора с работником федерального бюджетного учреждения и его примерной форме см. Приказ Минздравсоцразвития России от 14.08.2008 N 424н.

Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, — не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.

Здравствуйте. В вашей ситуации вам следует обращаться с исковым заявлением в суд об установлении факта трудовых отношений.

Также Вы можете написать мне в чате, кнопка «Сообщение юристу» и заказать персональную консультацию или подготовку документа по вашему юридическому вопросу. 

Юрист Новиков Д.А. г. Кемерово.