Что делать, если посторонний отравил мою собаку, которая в результате этого скончалась?

Вам необходимо предъявить иск о возмещении вреда. В соответствии со ст.137 Гражданского кодекса РФ к животным применяются общие правила об имуществе постольку, поскольку законом или иными правовыми актами не установлено иное. Согласно ст.1064 ГК РФ вред, причиненный личности или имуществу гражданина, а также вред, причиненный имуществу юридического лица, подлежит возмещению в полном объеме лицом, причинившим вред. 

Вам будет необходимо доказать, что именно этот человек выпустил дротики с ядом (подойдут свидетельские показания, видеозаписи, материалы полиции, если таковые имеются), что животное погибло от этого яда (справки с ветеринарной клиники и т.д.).