Как подписать контракт во время срочной службы, не возвращаясь домой?

Видимо командир не хочет заключать контракт именно с вами. Это вам сказал командир подразделения или части? Можете попытаться обжаловать его отказ без указания обоснованных причин, так как в соответствии с подпунктом «б» пункта 1 ст. 8 Положения о порядке прохождения военной службы (утв. Указом Президента РФ от 16 сентября 1999 г. № 1237) первый контракт заключают ранее не проходившие военную службу по контракту:

военнослужащие, проходящие военную службу по призыву и получившие до призыва на военную службу высшее образование, а также военнослужащие, проходящие военную службу по призыву и прослужившие не менее трех месяцев.

При этом не установлено за сколько месяцев до окончания службы по призыву военнослужащий должен подать рапорт на заключение первого контракта.

Согласно пункту 10 указанной статьи основаниями для отказа кандидату в заключении с ним первого контракта являются:

а) отсутствие в Вооруженных Силах Российской Федерации, других войсках, воинских формированиях и органах, органах военной прокуратуры и военных следственных органах Следственного комитета Российской Федерации вакантных воинских должностей согласно профилю подготовки кандидата или полученной им военно-учетной специальности;

б) решение аттестационной комиссии воинской части, утвержденное командиром (начальником) воинской части, о заключении контракта с другим кандидатом по итогам конкурсного отбора;

в) решение комиссии военного комиссариата по отбору кандидатов (совместной комиссии пункта отбора и военного комиссариата, аттестационной комиссии воинской части) о несоответствии кандидата требованиям, установленным для поступающих на военную службу по контракту.

Добрый день! 
В силу Положения о порядке прохождения военной службы — Статья 8. 1. 
А)Первый контракт заключают ранее не проходившие военную службу по контракту: 
б) военнослужащие, проходящие военную службу по призыву и получившие до призыва на военную службу высшее образование, а также военнослужащие, проходящие военную службу по призыву и прослужившие не менее трех месяцев; 
Так как Вы уже отслужили 10 месяцев срочной службы, для перехода контрактную службу для Вас препятствий нет.
Для этого Вам необходимо подать рапорт своему командиру, который заключает контракт с молодым человеком. Но сначала он направляет служащего на ВВК, а  после врачебной комиссии дело претендента на контракт должно быть рассмотрено аттестационной комиссией той воинской части, где тот проходит службу.
Если у Вас возникнут дополнительные вопросы, обращайтесь к юристам нашей компании.