Здравствуйте. Работа по гражданско-правовому договору регулируется не ТК, а ГК РФ. Поэтому там не предусмотрены никакие отработки, но договор должен быть расторгнут или его положения изменены. Расторжение договора с определённым сроком действия возможно только по соглашению сторон или при существенном нарушении одним из контрагентов условий договора. Судя из Ваших объяснений, Вы решили расторгнуть договор по своей инициативе, а нарушений со стороны контрагента нет. Считаю, что следует пойти на компромисс и согласиться на их предложение. К сожалению, в вопросе Вы не указали, какой договор срочный или без указания срока.
А если договор не был отдан на руки ?
Ну, если Вы ничем не сможете подтвердить в случае каких-либо разбирательств факт того, что между вами гражданско-правовые, а не трудовые отношения, то в таком случае отношения, скорее всего, придётся признать трудовыми со всеми вытекающими последствиями (внесение записи в трудовую книжку, двухнедельная отработка, все налоги и обязательные платежи с причитающейся Вам зарплаты и т.д.), за несколькими исключениями. Возможно, Ваши услуги носили срочный характер и целью их оказания был какой-то конкретный результат (разовый).