Что делать, если бабушка угрожает навредить моему коту?

Здравствуйте, Наташа. 

Юридического решения Вашего вопроса с точки зрения именно взаимоотношений Вашей бабушки с котом трудно найти, ответственность предусмотрена только за жестокое обращение с животными, которые повлекли гибель или увечье. Этого к счастью не произошло. Кот, с точки зрения гражданского права, является Вашей собственностью. Если она его отдаст другим, то ее можно привлечь к ответственности за кражу (но это трудно доказуемое преступление, так как нужно подтверждение того, что кот принадлежит именно Вам, а не допустим ей, так как Вы вместе проживаете). Вы можете предупредить ее об ответственности за жестокое обращение с животным, хищение животного и т.д. 

ГК РФ Статья 137. Животные

 
К животным применяются общие правила об имуществе постольку, поскольку законом или иными правовыми актами не установлено иное.
При осуществлении прав не допускается жестокое обращение с животными, противоречащее принципам гуманности.