Имеет ли право паспортный стол в паспорте исправлять ошибку корректором?

Нет, незаконно.

В данном случае никаких исправления не допускается

Не правильно в паспорте на штампе прописка ручкой написали номер квартиры, отдала обратно чтобы исправили, вернули паспорт с исправлением, замазали корректором номер квартиры, и на корректор написали новый номер. Законно ли это?

12. Замена паспорта производится при наличии следующих оснований:
достижение возраста, предусмотренного пунктом 7 настоящего Положения;

изменение гражданином в установленном порядке фамилии, имени, отчества, изменение сведений о дате (число, месяц, год) и / или месте рождения; 

изменение пола;
непригодность паспорта для дальнейшего использования вследствие износа, повреждения или других причин;
обнаружение неточности или ошибочности произведенных в паспорте записей.
Замена паспорта производится и в иных случаях, предусмотренных нормативными правовыми актами Российской Федерации.
13. Для замены паспорта гражданин представляет:
заявление по форме, установленной Министерством внутренних дел Российской Федерации;
(в ред. Постановлений Правительства РФ от 28.03.2008 N 220, от 07.07.2016 N 644)
паспорт, подлежащий замене;
две личные фотографии размером 35 x 45 мм;
документы, подтверждающие указанные в пункте 12 настоящего Положения основания для замены паспорта.

Подскажите пожалуйста, куда в таком случае обращаться? И будет ли замена паспорта?

14. Документы и личные фотографии, необходимые для получения или замены паспорта, граждане представляют в территориальные органы Министерства внутренних дел Российской Федерации непосредственно либо через должностных лиц многофункциональных центров предоставления государственных и муниципальных услуг. Заявление о выдаче (замене) паспорта по форме, установленной Министерством внутренних дел Российской Федерации, и личная фотография могут быть представлены гражданином в форме электронного документа с использованием федеральной государственной информационной системы «Единый портал государственных и муниципальных услуг (функций)».
(в ред. Постановлений Правительства РФ от 07.07.2016 N 644, от 18.11.2016 N 1214)

Граждане, находящиеся в организациях социального обслуживания, вправе представлять указанные документы, заявление и личные фотографии должностным лицам этих организаций.