Здравствуйте, Елена.
Встречный вопрос: а Вы готовы к выезду из квартиры так быстро или она фактически свободна?
Пустить потенциальных покупателей в квартиру пожить Вы конечно можете. Но в таком случае обе стороны рискуют. Продавец тем что он будет вынужден выгонять потенциальных покупателей из квартиры если сделка не состоится, покупатели — тратить время и силы на перевоз вещей.
Порядок оформления сделки следующий. Если Ваша мама является единоличной собственностью квартиры (то есть в свидетельстве о регистрации права в строчке «вид права» написано «собственность»), то составляется и подписывается договор купли-продажи. Составляется в нескольких экземплярах (для каждого участника сделки по экземпляру и ещё один для Росреестра). Этот документ вступает в силу с момента его подписания и обязывает покупателя и продавца к определенным действиям: покупателя — заплатить за квартиру, продавца — передать квартиру. А вот сроки этих действий зависят только от договоренности сторон. Можно договориться что деньги уплачиваются частями (в день подписания договора деньги, которые на руках, материнский капитал через определенный промежуток), а передача квартиры допустим на следующий день после передачи первой части денег. Можно прописать ответственность за неисполнение договора, например, если деньги по маткапиталу не перечислят или возникнут другие препятствия для перехода права собственнности на покупателя не по вашей вине, то Покупатель должен в виде компенсации заплатить некоторую сумму денег (а по факту Вы вернёте покупателю его деньги за минусом суммы компенсации).
Следующий шаг — это подача заявлений в Росреестр через многофункциональный центр и получение покупателем выписки из Единого государственного реестра недвижимости, которая подтверждает, что покупатель стал собственником.
Прописка детей не влияет на возможность вселения покупателей. Они будут выписаны по заявлению матери и прописаны по ее месту жительства (или по месту жительства отца).
Удачи!