Могу ли я подать в суд за нарушение договорных отношений?

Наталья, здравствуйте. Прежде всего надо сказать о том, что согласно ст. 310 ГК РФ:

1. Односторонний отказ от исполнения обязательства и одностороннее изменение его условий не допускаются, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом, другими законами или иными правовыми актами

должна доплатить ему еще 44 тысячи.

Наталья Сергеевна

приводил ли он какие-либо словестные кроме того, что иные фирмы берут дороже?  Кроме того, согласно ст. 28 ФЗ О защите прав потребителей":

1. Если исполнитель нарушил сроки выполнения работы (оказания услуги) — сроки начала и (или) окончания выполнения работы (оказания услуги) и (или) промежуточные сроки выполнения работы (оказания услуги) или во время выполнения работы (оказания услуги) стало очевидным, что она не будет выполнена в срок, потребитель по своему выбору вправе:
назначить исполнителю новый срок;

поручить выполнение работы (оказание услуги) третьим лицам за разумную цену или выполнить ее своими силами и потребовать от исполнителя возмещения понесенных расходов;

потребовать уменьшения цены за выполнение работы (оказание услуги);
отказаться от исполнения договора о выполнении работы (оказании услуги).

Поскольку Вами обязательство по оплате исполнено, то удержание суммы в рамках ст. 712 ГК РФ является неправомерным:

При неисполнении заказчиком обязанности уплатить установленную цену либо иную сумму, причитающуюся подрядчику в связи с выполнением договора подряда, подрядчик имеет право на удержание в соответствии со статьями 359 и 360 настоящего Кодекса результата работ, а также принадлежащих заказчику оборудования, переданной для переработки (обработки) вещи, остатка неиспользованного материала и другого оказавшегося у него имущества заказчика до уплаты заказчиком соответствующих сумм.

Прежде всего Вам сейчас необходимо составить и направить в адрес Исполнителя претензию с требованием выполнить обязательство в срок или составить ДС с измененными сроками.

Здравствуйте, Наталья Сергеевна. Конечно вы можете подать в суд. Но для того,  чтобы оценить перспективу такого обращения в суд необходимо ознакомиться с имеющимися у вас документами: договором на строительство балкона, смета стоимости работ при ее наличии и т.д.