Могут ли подать в суд, если после признания отцовства продолжала получать пособие как мать-одиночка?

Здравствуйте! Правовые последствия наступления отцовства наступают только после его установления.  

СК РФ, Статья 47. Основание для возникновения прав и обязанностей родителей и детей
 
Права и обязанности родителей и детей основываются на происхождении детей, удостоверенном в установленном законом порядке.

Таким образом, до установления отцовства Вы вполне могли считаться матерью-одиночкой. Однако если Вы получали пособия уже после его установления это можно расценивать как мошенничество. 

Всего доброго! 

Нет, мошенничества здесь нет. Так как пособие мать-одиночка получала абсолютно на законных основаниях. На момент получения пособия женщина таковой и была, несмотря на то, что биологический отец был, но он не был установлен в добровольном или в судебном порядке. Биологический отец есть у каждого ребенка, но отцовство должно быть установлено в установленном в соответствии с действующим законодательством порядке.