День добрый!
Паспорт придется менять. При замене паспорта заявитель не обязан представлять своё свидетельство о рождении (исчерпывающий перечень документов, необходимых для замены паспорта гражданина РФ закреплён в п. 13 Положения о паспорте гражданина Российской Федерации, утверждённого постановлением Правительства РФ от 8 июля 1997 г. N 828) вот видимо и произошла ошибка. Вам необходимо обратиться за ее исправлением.
Если у Вас в паспорте будет е а у родителей ё, то могут возникнуть проблемы при подтверждении родственных связей, например при вступлении в наследство. Посмотрите в Вашем свидетельстве о рождении как указаны фамилии родителей. Если через ё то проблем не будет, а если как и у Вас е то Вашим родителям стоит написать завещание с правильным указанием Вашей фамилии без указания на родство (завещаю свое имущество Ивановой Наталье Петровне). Либо уже сейчас обратиться в суд с заявлением о признании юридически значимого факта о том, что… являются отцом и матерью… После смерти родителей это будет сделать труднее и затратнее.