Здравствуйте, Наталия! Поскольку мама скончалась одновременно с бабушкой, Вы являетесь после бабушки наследницей первой очереди по закону по праву представления. Поскольку после смерти бабушки Вы продолжали владеть и пользоваться квартирой, постольку Вы фактически приняли наследство после бабушки, что по своим юридическим последствиям приравнивается к подаче нотариусу заявления о принятии наследства в установленный срок.
Что же касается Вашего дяди (сына бабушки), то ситуация с его наследственными правами зависит от того, обращался ли он после смерти бабушки с заявлением о принятии наследства или нет. Если не обращался (а я так понимаю, что не обращался), то права на наследство он не имеет, поскольку в течение установленного срока (6 месяцев с момента открытия наследства) не заявил о своих наследственных правах.
Т.к. Вы на момент смерти бабушки проживали совместно с ней в квартире, доля в которой является наследственным имуществом, Вам достаточно обратиться к нотариусу с заявлением о выдаче Вам свидетельства о праве на наследство по закону.
С уважением, А.Д.Руслин.