Добрый день.
Нет, второй сын не может совершать какие-либо действия с муниципальной квартирой без согласия первого сына, т.к. первый сын прописан в данной квартире. Любые действия с квартирой, принадлежащей на основании договора социального найма, совершаются совместно всеми лицами, которые прописаны в данной квартире. Это соответственно наниматель и члены его семьи. Второй сын является представителем матери, но он не прописан в квартире.
Прописка в муниципальную квартиру осуществляется при условии получения письменного согласия всех лиц, прописанных в квартире – нанимателя и членов его семьи (ст.70 ЖК РФ). То есть для прописки в квартире второго сына необходимо получить согласие матери и первого сына. В случае осуществления прописки необходимо также внести изменения в договор соцнайма. Если такие изменения в договор внесены не будут, в дальнейшем в приватизации квартиры откажут.
Что касается приватизации, то также необходимо согласие всех лиц, прописанных в квартире. При приватизации квартира передается им в долевую собственность. То есть пока второй сын не прописан в квартире, он не может участвовать в приватизации, несмотря на наличие доверенности. Доверенность дает ему право только действовать от имени матери. В случае с приватизацией, если мать не хочет в ней участвовать она должна написать отказ от участия в приватизации. Но сама она остается прописанной в квартире. А квартира передается в собственность остальных прописанных в ней лиц.
Более того не забываем, так как квартира находится в муниципальной собственности, распоряжаться данной квартирой нельзя. Приватизировать часть такой квартиры нельзя (ст. 72 ЖК РФ). Может быть сделан только обмен, но для этого также нужно согласие нанимателя и иных прописанных в квартире лиц.