Екатерина, здравствуйте. Вы не можете в судебном порядке понудить брата к выкупу доли в праве собственности на квартиру. Но Вы вправе продать её третьему лицу при условии направления брату письменного извещения о намерении продать свою долю с указанием цены и других условий, на которых Вы её продаете. Согласно ст.250 ГК РФ
Если остальные участники долевой собственности не приобретут продаваемую долю в праве собственности на недвижимое имущество в течение месяца, а в праве собственности на движимое имущество в течение десяти дней со дня извещения, продавец вправе продать свою долю любому лицу. В случае, если все остальные участники долевой собственности в письменной форме откажутся от реализации преимущественного права покупки продаваемой доли, такая доля может быть продана постороннему лицу ранее указанных сроков.
Думаю, письменное извещение с указанием вышеуказанной ссылки на закон, заставит брата поторопиться с покупкой.