Как восстановить трудовой стаж?

Работаю в частной православной школе г. Санкт-Петербурга воспитателем группы продленного дня. Устроилась 9 марта 2016 г., заключили срочный договор на определенный срок до 27 мая 2016г, летом школа не работает. Когда устраивалась, сказала, что трудовая книжка потеряна всвязи с переездом в другой город, мне ответили, что восстанавливайте и приносите. Летом работала и не было возможности съездить и восстановить трудовую книжку. Новый учебный год в школе начался 14 сентября 2016 г., опять оформили трудовой договор на определенный срок, на 2016-2017 учебный год, с 14.09.2016 по 26.05.2017. В договоре прописано, что школа в установленном порядке перечисляет в соответствующие фонды страховые взносы по социальному и медицинскому страхованию, а также пенсионные взносы. В марте этого 2017 года я зашла на сайт Пенсионного фонда и узнала, что у меня нет никакой информации о трудовом стаже и начисленных пенсионных баллов за период работы у этого работодателя. Я подошла к бухгалтеру и спросила, что такое? Она мне сказала, что школа не перечисляет в фонды страховые взносы по социальному и медицинскому страхованию, а также пенсионные взносы и стаж у меня не идет ввиду отсутствия у меня трудовой книжки, хотя в договоре прописано, что все перечисляют. Я была на больничном одну неделю в марте 2017 г., больничный мне тоже не оплатили, сказали, что по срочному трудовому договору и отсутствия трудовой книжки больничный не оплачивается и отпускные тоже не выплачиваются.

Подскажите, пожалуйста, законно ли поступают? Можно ли мне восстановить трудовой стаж у этого работодателя с момента работы у него, с 09 марта 2016 г.? Должны ли мне оплатить больничный и выплатить отпускные за 2017 г. и за 2016 г.?