Кто отвечает за жизнь и здоровье совершеннолетнего обучающегося школы?

Нет запрета.

Он совершеннолетний.

Способность гражданина своими действиями приобретать и осуществлять гражданские права, создавать для себя гражданские обязанности и исполнять их (гражданская
дееспособность) возникает в полном объеме с наступлением совершеннолетия,
то есть по достижении восемнадцатилетнего возраста.

Нужно договариваться с великовозрастным учеником.

Добрый день, Елена.

Федеральным законом от 29 декабря 2012 г. № 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации», согласно которому образовательная организация не только несёт ответственность в установленном законодательством Российской Федерации порядке за жизнь и здоровье обучающихся и работников, но и обязана создавать безопасные условия обучения, воспитания, присмотра и ухода за обучающимися, их содержания в соответствии с установленными нормами, в том числе обеспечивать расследование и учёт несчастных случаев с обучающимися во время пребывания в организации

Образовательное учреждение несет ответственность за ребёнка за всё то время, когда ребёнок находится под надзором образовательного учреждения, в соответствии с расписаниями уроков (занятий) и графиками работы учреждения. Но администрация не может нести ответственность в не рамках учебного процесса. Тем более не может запретить водить автомобиль.

Здравствуйте Елена!

К сожалению, закон не запрещает совершеннолетнему человеку управлять
автомобилем. В том числе, и подвозить несовершеннолетних детей.

Единственное, что можно сделать в Вашем случае, это совместно с родителями
контролировать их детей. Будет лучше, если Вы поставите в известность родителей
(желательно в письменном виде) о небезопасности таких поездок и, с разрешения
родителей, попытаетесь их исключить или хотя бы минимизировать.

Вообще, в данной ситуации, чем больше Вы поднимите шума, тем будет лучше.

Контроль со стороны ГИБДД возможен только в случае нарушения Правил
дорожного движения. Но, это уже не относится к Вашей компетенции.