Человек через социальные сети пишет оскорбления в адрес другого человека.Скажите пожалуйста существует ли какая нибудь ответственность за такие правонарушения?

Во-первых, каждому пользователю Интернета, конечно же, надо знать свои права, отраженные в законодательных актах Российской Федерации.
1. Конституция, статья 21 гласит:
Достоинство личности охраняется государством. Ничто не может быть основанием для его умаления.
2. Уголовный Кодекс, статья 129 гласит:
Клевета, содержащаяся в публичном выступлении, публично демонстрирующемся произведении или средствах массовой информации, наказывается:
— штрафом в размере до ста двадцати тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до одного года,
— либо обязательными работами на срок от ста восьмидесяти до двухсот сорока часов,
— либо исправительными работами на срок от одного года до двух лет, либо арестом на срок от трех до шести месяцев.
3. Уголовный Кодекс, статья 130 гласит:
Оскорбление, содержащееся в публичном выступлении, публично демонстрирующемся произведении или средствах массовой информации, наказывается:
— штрафом в размере до восьмидесяти тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до шести месяцев,
— либо обязательными работами на срок до ста восьмидесяти часов,
— либо исправительными работами на срок до одного года.
4. Гражданский Кодекс, статья 152 гласит:

Гражданин вправе требовать по суду опровержения порочащих его честь, достоинство или деловую репутацию сведений, если распространивший такие сведения не докажет, что они соответствуют действительности.

Здравствуйте Андрей! Вы можете обратиться к провайдеру что бы зафиксировать факт оскорбительных высказываний в адрес другого человека и и обратиться с заявлением в прокуратуру с целью привлечения лица к административной ответственности, а после чего обратиться в суд с иском о взыскании морального вреда