Какие могут быть последствия для меня и моей девушки, если она сбежит из дома ко мне?

Добрый день. Если речь идет о половых отношениях, то ничего не будет

Статья 134. Половое сношение и иные действия сексуального характера с лицом, не достигшим шестнадцатилетнего возраста
(в ред. Федерального закона от 29.02.2012 N 14-ФЗ)
1. Половое сношение с лицом, не достигшим шестнадцатилетнего возраста, совершенное лицом, достигшим восемнадцатилетнего возраста, — (в ред. Федерального закона от 28.12.2013 N 380-ФЗ)
наказывается обязательными работами на срок до четырехсот восьмидесяти часов, либо ограничением свободы на срок до четырех лет, либо принудительными работами на срок до четырех лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет или без такового, либо лишением свободы на срок до четырех лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до десяти лет или без такового.

Вадим, здравствуйте! Ничем это Вам грозить не будет, она может жить у Вас, поскольку

ГК РФ Статья 20. Место жительства гражданина
1. Местом жительства признается место, где гражданин постоянно или преимущественно проживает. Гражданин, сообщивший кредиторам, а также другим лицам сведения об ином месте своего жительства, несет риск вызванных этим последствий.
2. Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов.

Поскольку Вашей девушке уже 16 лет, то никаких проблем с проживанием не будет.

С Уважением!