Как записать отчество в паспорт, выданный в России, если мы родились в Грузии?

Здравствуйте. Непосредственно Ваш случай законодательно не урегулирован.

Утверждено
Постановлением Правительства
Российской Федерации
от 8 июля 1997 г. N 828
ПОЛОЖЕНИЕ
О ПАСПОРТЕ ГРАЖДАНИНА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
12. Замена паспорта производится при наличии следующих оснований:
достижение возраста, предусмотренного пунктом 7 настоящего Положения;
изменение гражданином в установленном порядке фамилии, имени, отчества, изменение сведений о дате (число, месяц, год) и / или месте рождения;
изменение пола;
непригодность паспорта для дальнейшего использования вследствие износа, повреждения или других причин;
обнаружение неточности или ошибочности произведенных в паспорте записей.

Но ситуация достаточно распространенная, только в каждом регионе миграционная служба поступает по своему.

Самым подходящим для Вас является основание обнаружение неточности в паспорте, т.к. согласно ГК РФ

Статья 19. Имя гражданина
1. Гражданин приобретает и осуществляет права и обязанности под своим именем, включающим фамилию и собственно имя, а также отчество, если иное не вытекает из закона или национального обычая.

Т.е. указание отчества в паспорте, это Ваше безусловное право.

Для того, чтобы точно узнать, что для этого необходимо, обратитесь в миграционное подразделение МВД по месту жительства.