Здравствуйте!
Если под детским центром вы имеете в виду развлекательное заведение, то могу пояснить следующее. Работники детского центра не отвечают за безопасность посетителей.
Как показывает судебная практика, вы должны не только будете доказать факт получения травмы но и причину.
В данном случае забота о малолетних детях лежит на родителях, которые обязаны обеспечить надзор за ребенком и несут ответственность за его здоровье. Более того все может повернуться до наоборот не в вашу пользу и вас могут привлечь в качестве правонарушителей причем уже в рамках уголовного процесса.
Доказать нужно: факт вреда, для чего необходимо на месте было обратиться к врачу и зафиксировать ожог.
Провести экспертизу которая подтвердит причину получения ожога.
Доказать что собственники детского центра не имели права установить кулер в месте где он находится, а таких запретов в законодательстве нет.
Следовательно и компенсацию вероятно вам не взыщут. Вот пример из практики.
ppt.ru/newstext.phtml?id=81101
С уважением Александр