Должны ли мне оплатить стоимость проезда и багажа, если я отработала месяц в районе Крайнего Севера?

Приветствую По существу заданного Вами вопроса могу пояснить следующее:

В соответствии со ст.326 ТК РФ, работнику федерального государственного органа, государственного внебюджетного фонда Российской Федерации, федерального государственного учреждения и членам его семьи в случае переезда к новому месту жительства в другую местность в связи с прекращением трудового договора по любым основаниям (в том числе в случае смерти работника), за исключением увольнения за виновные действия, оплачивается стоимость проезда по фактическим расходам и стоимость провоза багажа из расчета не свыше пяти тонн на семью по фактическим расходам, но не свыше тарифов, предусмотренных для перевозок железнодорожным транспортом.
Вышеуказанная гарантия и компенсация предоставляются работнику федерального государственного органа, государственного внебюджетного фонда Российской Федерации, федерального государственного учреждения только по основному месту работы.

Вывод: в указанном выше случае, Вы имеете право на компенсацию расходов, связанных с Вашим переездом.