Какие органы должны рассматривать заявление за публичное необоснованное обвинение?

Можно квалифицировать как клевету.

УК РФ, Статья 128.1. Клевета
2. Клевета, содержащаяся в публичном выступлении, публично демонстрирующемся произведении или средствах массовой информации, — наказывается штрафом в размере до одного миллиона рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до одного года либо обязательными работами на срок до двухсот сорока часов.

Заявление о преступлении в данном случае подается мировому судье.

Ст. 318 УПК РФ
1. Уголовные дела о преступлениях, указанных в части второй статьи 20 настоящего Кодекса, возбуждаются в отношении конкретного лица путем подачи потерпевшим или его законным представителем заявления в суд, за исключением случаев, предусмотренных пунктом 2 части первойи частью четвертой статьи 147 настоящего Кодекса.