Каковы сроки рассмотрения претензии от клиента, страховой компанией?

Здравствуйте. % дней — это срок рассмотрения претензии по ОСАГО. ФЗ — 59 тут тоже не при чем, там срок устанавливается в 1 месяц и это только для рассмотрения обращений органами власти. В вашем случае работает Закон о защите прав потребителей. И тут срок 10 дней.

Статья 31. Сроки удовлетворения отдельных требований потребителя
1. Требования потребителя об уменьшении цены за выполненную работу (оказанную услугу), о возмещении расходов по устранению недостатков выполненной работы (оказанной услуги) своими силами или третьими лицами, а также о возврате уплаченной за работу (услугу) денежной суммы и возмещении убытков, причиненных в связи с отказом от исполнения договора, предусмотренные пунктом 1 статьи 28 и пунктами 1 и 4 статьи 29 настоящего Закона, подлежат удовлетворению в десятидневный срок со дня предъявления соответствующего требования.

Здравствуйте, в Вашем случае регулирует срок рассмотренияне закон о защите прав потребителей, как упомянул коллега Выше, а ФЗ «ОБ ОСАГО» (п. 1 ст. 16.1), срок по ДТП произошедшим до 10.07.2016 составляет 5 дней ответа на претензию, срок на ДТП после 10.07.2016 составляет 10 дней.

Нормативный акт, который регулирует изменение с 5 до 10 дней срока ответа на претензию:

Федеральный закона от 23 июня 2016 г. N 214-ФЗ
«О внесении изменений в Федеральный закон „Об обязательном
страховании гражданской ответственности владельцев транспортных средств“