В праве ли нотариус назначать свои цены за услуги?

Здравствуйте.
Начнем с того, что такой услуги нотариуса, как «поиск информации в архиве» не существует. И уже тем более не существует такого нотариального действия.
Поэтому, если Вы обратились к нотариусу в устной форме с просьбой сообщить открывалось ли им наследственное дело, а нотариус Вам отказал (опять же устно) в предоставлении такой информации без уплаты требуемой суммы, жаловаться куда-либо не имеет никакого смысла.
Необходимо направить нотариусу письменный запрос. Можно отправить по почте, можно представить нотариусу на личном приеме, но обязательно в письменной форме! В этом случае документ должен быть нотариусом зарегистрирован и на него должен быть дан ответ, причем требовать какой-либо платы за это нотариус не имеет права.

Правила нотариального делопроизводства
(утв. решением Правления ФНП от 17.12.2012, приказом Минюста России от 16.04.2014 N 78)

22. Регистрации подлежат все документы, получаемые нотариусом и связанные с нотариальной деятельностью, независимо от способов их доставки.
23. Документы, подлежащие регистрации, должны быть учтены в журнале регистрации входящей корреспонденции в день их поступления.
24. На документе в правом нижнем углу первой страницы ставятся регистрационный номер по журналу регистрации входящей корреспонденции и дата регистрации.
26. Зарегистрированный документ, исходя из оценки его содержания, подлежит предварительному рассмотрению нотариусом в течение пяти рабочих дней с момента регистрации для решения вопроса о необходимости, сроках и порядке исполнения документа (подлежит ли документ принятию к нотариальному производству, требуется ли ответ автору обращения и т.д.).
Ответ по существу дается заявителю не позднее 30 дней с момента регистрации документа.
27. Не подлежат рассмотрению обращения, не содержащие данных о фамилии (наименовании организации) и почтовом адресе заявителя, по которому должен быть направлен ответ.

Если отправите запрос почтой — то обязательно с описью вложения и уведомлением о вручении, если представите лично — то обязательно в двух экземплярах, один для нотариуса, один для Вас, при этом требуйте, чтобы на Вашем экземпляре был проставлен регистрационный номер и дата регистрации (согласно п.24 вышеуказанных Правил).
Вот если нотариус не ответит на Ваш запрос — смело жалуйтесь в нотариальную палату Вашего региона на нарушение нотариусом Правил нотариального делопроизводства. Почтовое уведомление о вручении письма нотариусу и опись вложения или отметка о регистрации входящего документа будет доказательством Вашего обращения к нотариусу.
Далее.
В шапке запроса должен быть указан нотариус, которому подается запрос, а также Ваши ФИО и адрес. Текст запроса должен выглядеть примерно так:

«Я являюсь наследником первой очереди по праву представления после умершего ________ года прадедушки — Иванова Ивана Ивановича, _______года рождения, зарегистрированного на день смерти по адресу:____________________.
В связи с (цель получения информации) прошу сообщить, заводилось ли Вами наследственное дело в отношении имущества умершего _____года Иванова Ивана Ивановича, _______года рождения.»

Цель получения информации указать необходимо, потому что просто так, ради чьего-то любопытства, нотариус сведений о своей деятельности не предоставит.
А вот отказать в предоставлении информации об открытии наследственного дела нотариус не сможет, потому что сам факт открытия наследственного дела тайной не является, в отличие от информации о наследниках, о принятии или непринятии ими наследства, составе наследственного имущества и т. д.

А теперь самое главное — какова Ваша цель в получении информации об открытии наследственного дела после смерти прадедушки? Для чего Вам это нужно?
Если Вы хотите получить по наследству имущество прадедушки и для того, чтобы решить стоит ли заявлять свои права на наследственное имущество или нет Вам нужны сведения о составе наследственного имущества и других наследниках, то в этом случае запрос нотариусу Вам нужно делать только в том случае, если Вы являетесь наследником своего прадедушки. А его наследником Вы можете быть только по праву представления согласно п.2.ст.1142 и п.1 ст.1146 ГК РФ, то есть только в том случае, если Ваш дедушка или Ваша бабушка (сын или дочь этого прадедушки), а также Ваш отец или Ваша мать (внук или внучка прадедушки) умерли раньше самого прадедушки.

ГК РФ Статья 1142. Наследники первой очереди

1. Наследниками первой очереди по закону являются дети, супруг и родители наследодателя.
2. Внуки наследодателя и их потомкинаследуют по праву представления.

ГК РФ Статья 1146. Наследование по праву представления

1. Доля наследника по закону, умершего до открытия наследства или одновременно с наследодателем, переходит по праву представления к его соответствующим потомкам в случаях, предусмотренных пунктом 2 статьи 1142… настоящего Кодекса, и делится между ними поровну.

Если же Ваш прадедушка умер раньше, чем дедушка (бабушка) или отец (мать), то наследником прадедушки является кто-то из них, а Вы, соответственно, наследником кого-то из них.
В этом случае запрос по поводу наследственного дела прадедушки сделает нотариус, который ведет дело умершего наследника прадедушки.