Как быть, если организация просит погасить долг частично?

Полностью не зная ситуации (когда был взят долг, на каких условиях), ответить достаточно сложно, но имейте ввиду- если срок исковой давности уже истёк, а вы оплатите, это будет означать, что долг вы признали и у кредитора вновь появится право обратиться в суд уже за взысканием всего долга полностью…

Гражданский кодекс Российской Федерации (часть первая)" от 30.11.1994 N 51-ФЗ
(ред. от 31.01.2016)
Статья 206. Исполнение обязанности по истечении срока исковой давности
1. Должник или иное обязанное лицо, исполнившее обязанность по истечении срока исковой давности, не вправе требовать исполненное обратно, хотя бы в момент исполнения указанное лицо и не знало об истечении давности.
2. Если по истечении срока исковой давности должник или иное обязанное лицо признает в письменной форме свой долг, течение исковой давности начинается заново.

Марина, здравствуйте, скажу по практике своего города, что такое вполне может быть. Здесь самое главное, что если мфо предоставляет вам такие условия, и вы их принимаете, между вами должно быть достигнуто соглашение, и обязательно в письменном виде