Вправе ли участвовать в суде второй инстанции представитель по письменному заявлению?

На вопрос не дан ответ. А в самом ответе ошибка. Не "может допустить", а допускает, что по нормам права означает "обязан допустить".

ответ дан об общей правомочности представительствовать в суде — на основании доверенности, в которой прописаны полномочия. Если это судебная доверенность то она, как правило выдается на все судебные инстанции.

Из вопроса не понятно на каком основании действует представитель?:

Письменное заявление о представителе подано в суд первой инстанции Евгений

Статья 53 ГПК РФ Оформление полномочий представителя
[Гражданский процессуальный кодекс РФ] [Глава 5] [Статья 53]
1. Полномочия представителя должны быть выражены в доверенности, выданной и оформленной в соответствии с законом.
2. Доверенности, выдаваемые гражданами, могут быть удостоверены в нотариальном порядке либо организацией, в которой работает или учится доверитель, товариществом собственников жилья, жилищным, жилищно-строительным или иным специализированным потребительским кооперативом, осуществляющим управление многоквартирным домом, управляющей организацией по месту жительства доверителя, администрацией организации социального обслуживания, в которой находится доверитель, а также стационарного лечебного учреждения, в котором доверитель находится на излечении, командиром (начальником) соответствующих воинских части, соединения, учреждения, военной профессиональной образовательной организации, военной образовательной организации высшего образования, если доверенности выдаются военнослужащими, работниками этих части, соединения, учреждения, военной профессиональной образовательной организации, военной образовательной организации высшего образования или членами их семей. Доверенности лиц, находящихся в местах лишения свободы, удостоверяются начальником соответствующего места лишения свободы.
3. Доверенность от имени организации выдается за подписью ее руководителя или иного уполномоченного на это ее учредительными документами лица, скрепленной печатью этой организации (при наличии печати).
4. Законные представители предъявляют суду документы, удостоверяющие их статус и полномочия.
5. Право адвоката на выступление в суде в качестве представителя удостоверяется ордером, выданным соответствующим адвокатским образованием.
6. Полномочия представителя могут быть определены также в устном заявлении, занесенном в протокол судебного заседания, или письменном заявлении доверителя в суде.