Насколько велики полномочия полицейских?

Здравствуйте, Полина. Уголовное дело возбуждено? Обыск проводится после возбуждения уголовного дела:

Статья 182. Основания и порядок производства обыска
[Уголовно-процессуальный кодекс РФ] [Глава 25][Статья 182]
1. Основанием производства обыска является наличие достаточных данных полагать, что в каком-либо месте или у какого-либо лица могут находится орудия, оборудование или иные средства совершения преступления, предметы, документы и ценности, которые могут иметь значение для уголовного дела.
2. Обыск производится на основании постановления следователя.
3. Обыск в жилище производится на основании судебного решения, принимаемого в порядке, установленном статьей 165 настоящего Кодекса.
4. До начала обыска следователь предъявляет постановление о его производстве, а в случаях, предусмотренных частью третьей настоящей статьи, — судебное решение, разрешающее его производство.
5. До начала обыска следователь предлагает добровольно выдать подлежащие изъятию предметы, документы и ценности, которые могут иметь значение для уголовного дела. Если они выданы добровольно и нет оснований опасаться их сокрытия, то следователь вправе не производить обыск.
6. При производстве обыска могут вскрываться любые помещения, если владелец отказывается добровольно их открыть. При этом не должно допускаться не вызываемое необходимостью повреждение имущества.
7. Следователь принимает меры к тому, чтобы не были оглашены выявленные в ходе обыска обстоятельства частной жизни лица, в помещении которого был произведен обыск, его личная и (или) семейная тайна, а также обстоятельства частной жизни других лиц.
8. Следователь вправе запретить лицам, присутствующим в месте, где производится обыск, покидать его, а также общаться друг с другом или иными лицами до окончания обыска.
9. При производстве обыска во всяком случае изымаются предметы и документы, изъятые из оборота.
9.1. При производстве обыска электронные носители информации изымаются с участием специалиста. По ходатайству законного владельца изымаемых электронных носителей информации или обладателя содержащейся на них информации специалистом, участвующим в обыске, в присутствии понятых с изымаемых электронных носителей информации осуществляется копирование информации. Копирование информации осуществляется на другие электронные носители информации, предоставленные законным владельцем изымаемых электронных носителей информации или обладателем содержащейся на них информации. При производстве обыска не допускается копирование информации, если это может воспрепятствовать расследованию преступления либо, по заявлению специалиста, повлечь за собой утрату или изменение информации. Электронные носители информации, содержащие скопированную информацию, передаются законному владельцу изымаемых электронных носителей информации или обладателю содержащейся на них информации. Об осуществлении копирования информации и о передаче электронных носителей информации, содержащих скопированную информацию, законному владельцу изымаемых электронных носителей информации или обладателю содержащейся на них информации в протоколе делается запись.
10. Изъятые предметы, документы и ценности предъявляются понятым и другим лицам, присутствующим при обыске, и в случае необходимости упаковываются и опечатываются на месте обыска, что удостоверяется подписями указанных лиц.
11. При производстве обыска участвуют лицо, в помещении которого производится обыск, либо совершеннолетние члены его семьи. При производстве обыска вправе присутствовать защитник, а также адвокат того лица, в помещении которого производится обыск.
12. При производстве обыска составляется протокол в соответствии со статьями 166 и 167 настоящего Кодекса.
13. В протоколе должно быть указано, в каком месте и при каких обстоятельствах были обнаружены предметы, документы или ценности, выданы они добровольно или изъяты принудительно. Все изымаемые предметы, документы и ценности должны быть перечислены с точным указанием их количества, меры, веса, индивидуальных признаков и по возможности стоимости.
14. Если в ходе обыска были предприняты попытки уничтожить или спрятать подлежащие изъятию предметы, документы или ценности, то об этом в протоколе делается соответствующая запись и указываются принятые меры.
15. Копия протокола вручается лицу, в помещении которого был произведен обыск, либо совершеннолетнему члену его семьи. Если обыск производился в помещении организации, то копия протокола вручается под расписку представителю администрации соответствующей организации.
16. Обыск может производиться и в целях обнаружения разыскиваемых лиц и трупов.

Проникать в квартиру без хозяина для проведения обыска полицейские не могут. Проводят те полицийские, где было возбуждено уголовное дело.

Если она напишет заявление в полицию, пишите встречное заявление за ложный донос по ст. 306 УК РФ.

Здравствуйте!

Может ли Александр не пускать их в квартиру? Если действительно есть постановление на обыск, то как он должно проходить правильно? И кто его должен проводить? Могут ли это делать полицейские из другого района? Может ли проникновение в квартиру (вскрытие дверей, например) проводиться без присутствия участкового?

Ничего этого не могут. Полицейские не будет вскрывать двери. Чтобы получить постановление на обыск, нужны слишком весовые аргументы, а не забытое полотенце.

Подскажите, что делать в ситуации, когда вроде бы еще ничего и не случилось, но угрозы поступают

В таких ситуациях не следует ничего ждать от стороны, а самому идти в полицию и все изложить по сути.