Могу ли я выписаться с большим долгом ( чуть менее 300т ) из квартиры?

Реализация права на снятие гражданина с регистрационного учета не может быть поставлено в зависимость от наличия долга по коммунальным и иным услугам за квартиру. Иными словами, отказать вам при наличии долга не могут.

В случае отказа в принятии заявления на снятие с регистрационного учета требуйте письменный отказ.

Постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713
(ред. от 05.03.2015)
«Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечня лиц, ответственных за прием и передачу в органы регистрационного учета документов для регистрации и снятия с регистрационного учета граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации»
31. Снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае:
а) изменения места жительства — на основании заявления гражданина о регистрации по новому месту жительства или заявления о снятии его с регистрационного учета по месту жительства (в письменной форме или в форме электронного документа). При регистрации по новому месту жительства, если гражданин не снялся с регистрационного учета по прежнему месту жительства, орган регистрационного учета в 3-дневный срок обязан направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по прежнему месту жительства гражданина для снятия его с регистрационного учета;