Совмещение работ и доплата за квалификационный разряд

Здравствуйте! Я гражданин Казахстана, нахожусь в Москве по трудовой деятельности. Имею бессрочный трудовой договор и все сопровождающие документы для жизни, я не узконаправленный специалист и работаю на обычной работе. В данный момент хочу сменить род деятельности и получить трудовой договор в другом месте при этом я не понимаю как я должен поступить. При первичном продлении я ходил в МВД по миграционным вопросам, собирал нужные документы и подавал заявку, как я понял я привязан к своему месту работы и при ее смене должен обновить данные в мвд или такового не требуется так как печать уже имеется и я могу на этот срок осуществлять любую официальную трудовую деятельность. Прошу помочь разобраться в моем вопросе.

На работе возникла ситуация. Я ушла на больничный, попросила позволить мне работать удаленно. В мои оговоренные обязанности в этот период входил прием поступлений в 1с (бухгалтерия) по сканам, которые поступают во входящих сообщениях. Это всё, что я могла делать из дома. Во время моего больничного сканов поступало мало, вследствие чего из заявленных в служебной записке 8 часов в день я реально работала примерно час-два. Больше заданий, направленных ко мне, не было. После больничного меня упрекнули в том, что я плохо работала во время него, сказали, что я должна была попросить коллег, чтобы они отдали мне часть своей работы. И также расценили то, что я указала в служебной записке, что работала все 8 часов, - как обман. И на основании этого уволили. Это обоснованные действия со стороны руководителя? Кто не прав в данной ситуации? Если работнику не хватает работы, он должен сам ее просить?